Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）己知函數(shù)有兩個極值點

①比較與的大小；

②若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）①；②

【解析】

（1），分，兩種情況討論即可；

（2）①通過因式分解可得的表達(dá)式，再利用是函數(shù)有兩個極值點得到，，代入計算即可得到與的大��；②由題意可將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有唯一的最大值，進(jìn)一步可得到或，結(jié)合，分別解不等式組即可.

（1）.

當(dāng)時，，

所以的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；

當(dāng)時，令，得或，

令，得，

所以的單調(diào)增區(qū)間為和，

減區(qū)間為.

綜上：當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為無減區(qū)間

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為和，

減區(qū)間為.

（2）因為的兩個極值點，，

由（1）知，當(dāng)時，

，，

且，，

則，，

因此，

所以.

①因為在，上單調(diào)遞增，在上遞減，

所以，.

由

即.

②因為函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，

所以在區(qū)間上只有唯一的最大值.

故由（由①知不成立，故舍去）

或（即）

由，

解得，代入，得，

由，得，所以.