Question

【題目】已知為平面上一點(diǎn)，為直線：上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，設(shè)線段的中垂線與直線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)作互相垂直的直線與，其中直線與軌跡交于點(diǎn)、，直線與軌跡交于點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，求的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用軌跡與方程的思想，構(gòu)造等量關(guān)系，求軌跡方程；

（2）用直線斜截式方程設(shè)直線方程與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)，坐標(biāo)，可將的面積表示為關(guān)于直線斜率的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求的面積的最小值.

（1）設(shè)點(diǎn)則，設(shè)的中點(diǎn)為，則，

且為的中垂線，

當(dāng)時，

即，

∴

當(dāng)時，，則

綜上所述點(diǎn)的軌跡的方程為；

（2）設(shè)直線的斜率為，

且，則直線的斜率為，

∵直線與軌跡交于點(diǎn)、，直線與軌跡交于點(diǎn)、，

∴，

∴直線的方程為，直線的方程為，

設(shè)，聯(lián)立直線與曲線方程

∴

∴，

即，，

且點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴

同理

設(shè)點(diǎn)到直線：的距離為，

∴，

，

∴，

∴的面積的最小值為.