Question

【題目】設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若滿足不等式的正整數(shù)恰有個(gè)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得出關(guān)于和的方程組，解出這兩個(gè)量的值，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求出，可得出，可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)不等式不成立，只考慮為偶數(shù)的情況，利用數(shù)列單調(diào)性的定義判斷數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的單調(diào)性，由此能求出正實(shí)數(shù)的取值范圍．

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

則，整理得，

解得，，因此，；

（2），

滿足不等式的正整數(shù)恰有個(gè)，得，

由于，若為奇數(shù)，則不等式不可能成立.

只考慮為偶數(shù)的情況，令，

則，．

.

當(dāng)時(shí)，，則；

當(dāng)時(shí)，，則；

當(dāng)時(shí)，，則.

所以，，

又，，，，.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.