Question

【題目】已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn)．

（1）求證：為定值及動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）不在軸上的點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線交于另外一點(diǎn)．求證：直線與直線的斜率的乘積為定值，并求出該定值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析，（2）見(jiàn)解析，．

【解析】

（1）圓的圓心為，半徑為，根據(jù)中垂線有為定值，再利用橢圓的定義求解.

（2）設(shè)，，則，，再根據(jù)點(diǎn)，都在橢圓上，有，，代入化簡(jiǎn)求解.

（1）證明：如圖所示：

圓的圓心為，半徑為，

為定值，且，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為，

可得，，，

故所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；

（2）證明：如圖所示：

設(shè)，，則，

∵，都在橢圓上，∴，，

∴，

∴．

所以直線與直線的斜率的乘積為定值，且為．