Question

如圖所示，已知P(4，0)是圓x²+y²=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.  

Answer 1

所求的軌跡方程是x²+y²=5

設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 
又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理:在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0
因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).
設(shè)Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因?yàn)?i>R是PQ的中點(diǎn)，所以x₁=,
代入方程x²+y²－4x－10=0,得
－10=0
整理得: x²+y²=56,這就是所求的軌跡方程.