Question

【題目】設(shè)，為奇函數(shù).

（1）求的值；

（2）若對任意恒有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由求出實數(shù)的值，求出函數(shù)的解析式，然后利用奇偶性的定義驗證函數(shù)為奇函數(shù)；

（2）分析出函數(shù)為增函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，由得出，由單調(diào)性得出對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，對該二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出最小值，然后解不等式可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域為，故，所以.

故，所以，此時，，定義域為，關(guān)于原點對稱.

，則函數(shù)為奇函數(shù)；

（2）由（1）得，

則函數(shù)在上為減函數(shù)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，

由，可得，則有.

，則該不等式對任意的恒成立，

構(gòu)造函數(shù)，其中，則.

二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，下面分三種情況討論：

①當時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

則函數(shù)的最小值為恒成立，，此時；

②當時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

則函數(shù)的最小值為，解得，此時；

③當時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為，整理得，

解得，此時.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.