Question

【題目】某鎮(zhèn)在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展養(yǎng)殖業(yè)，以增加收入，政府計(jì)劃共投入72萬(wàn)元，全部用于甲、乙兩個(gè)合作社，每個(gè)合作社至少要投入15萬(wàn)元，其中甲合作社養(yǎng)魚，乙合作社養(yǎng)雞，在對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)研分析發(fā)現(xiàn)養(yǎng)魚的收益M、養(yǎng)雞的收益N與投入a（單位：萬(wàn)元）滿足，N＝a+20．設(shè)甲合作社的投入為x（單位：萬(wàn)元），兩個(gè)合作社的總收益為f（x）（單位：萬(wàn)元）．

（1）當(dāng)甲合作社的投入為25萬(wàn)元時(shí)，求兩個(gè)合作社的總收益；

（2）試問如何安排甲、乙兩個(gè)合作社的投入，才能使總收益最大，最大總收益為多少萬(wàn)元？

Answer 1

【答案】（1）88.5萬(wàn)元

（2）該公司在甲合作社投入16萬(wàn)元，在乙合作社投入56萬(wàn)元，總收益最大，最大總收益為89萬(wàn)元

【解析】

根據(jù)題意，當(dāng)甲合作社投入為25萬(wàn)元時(shí)，乙合作社投入為47萬(wàn)元，分別代入其收益與投入的函數(shù)式，最后求和即可。

首先確定函數(shù)定義域，然后結(jié)合分段函數(shù)的解析式分類討論確定最大收益的安排方法即可得出答案。

解：（1）當(dāng)甲合作社投入為25萬(wàn)元時(shí)，乙合作社投入為47萬(wàn)元，此時(shí)兩個(gè)個(gè)合作社的總收益為：

＝88.5（萬(wàn)元）；

（2）甲合作社的投入為x萬(wàn)元（15≤x≤57），則乙合作社的投入為72﹣x萬(wàn)元，

當(dāng)15≤x≤36時(shí)，則36≤72﹣x≤57，

f（x）＝4+25+（72﹣x）+20＝﹣x+4+81．

令t＝，得≤t≤6，

則總收益為g（t）＝﹣t2+4t+81＝﹣（t﹣4）2+89，

顯然當(dāng)t＝4時(shí)，函數(shù)取得最大值g（t）＝89＝f（16），

即此時(shí)甲投入16萬(wàn)元，乙投入56萬(wàn)元時(shí)，總收益最大，最大收益為89萬(wàn)元

當(dāng)36＜x≤57時(shí)，則15＜72﹣x≤36，

則f（x）＝49+（72﹣x）+20＝﹣x+105，

則f（x）在（36，57]上單調(diào)遞減，

∴f（x）＜f（36）＝87．

即此時(shí)甲、乙總收益小于87萬(wàn)元．

又89＞87，

∴該公司在甲合作社投入16萬(wàn)元，在乙合作社投入56萬(wàn)元，總收益最大，最大總收益為89萬(wàn)元．