Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若,求曲線在處的切線方程；

（2）若在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí),求證:對(duì)于任意的 ,均有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求出,由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，由的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）函數(shù)在[]上單調(diào)遞增 在[]上恒有.即（）恒成立，令（）,只需求出的最小值即可得結(jié)果；（3）先證明當(dāng) []時(shí), , 遞增,有成立，再討論兩種情況若,不等式恒成立，只需分兩種情況證明（]時(shí)也恒成立即可.

試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù),則.

又因?yàn)?/span>,.

所以曲線在（）處的切線方程為: .

（2）因?yàn)?/span>,所以（）

函數(shù)在[]上單調(diào)遞增 在[]上恒有.即（）恒成立.令（）,則

.又因?yàn)?/span>在[]上單調(diào)遞增,所以,

所以.

（3）證明: 因?yàn)?/span>,所以（）.

令（）,則.

①當(dāng) []時(shí), , 遞增,有,

因?yàn)?/span>,此時(shí), , 遞增,

有成立.

②當(dāng)（]時(shí), , 遞減,有,

若,此時(shí), 遞增, 顯然成立.

若（],此時(shí)記,則在（]上遞增,

在（]上遞減.此時(shí)有,

,

構(gòu)造,則,

令,求得.故在（]上遞減,

在（）上遞增,所以，

所以,此時(shí)滿足，

綜上所述,當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的 [],均有.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題. 利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見(jiàn)方法：① 視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的; ② 利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍，本題（2）是利用方法 ②求解的．