【題目】設(shè)橢圓方程為
，過點
的直線l交橢圓于點A，B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足
，點N的坐標(biāo)為
，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：
（1）動點P的軌跡方程；
（2）
的最小值與最大值.
【答案】（1）
；（2）當(dāng)
時，最小值為
；當(dāng)
時，最大值為
.
【解析】
（1）設(shè)出直線
的方程
和點A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，即可求出
，然后根據(jù)
求出點P的坐標(biāo)，消去參數(shù)，即可得到動點P的軌跡方程，再檢驗當(dāng)k不存在時，是否也滿足方程即可；
（2）根據(jù)點P的軌跡方程求得
的取值范圍，再根據(jù)兩點間的距離公式求出
，消元，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出
的最小值與最大值．
（1）直線l過點
，設(shè)其斜率為k，則l的方程為．
設(shè)
，
，由題設(shè)可得點A、B的坐標(biāo)是方程組
的解．
將①代入②并化簡得
，所以
于是，
，
設(shè)點P的坐標(biāo)為
，
則
消去參數(shù)k得，③
當(dāng)k不存在時，A、B中點為坐標(biāo)原點
，也滿足方程③，
所以點P的軌跡方程為．
（2）點P的軌跡方變形為
，
知
，即
．
所以
，
故當(dāng)時，取得最小值，最小值為．
當(dāng)時，取得最大值，最大值為．
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知點
在橢圓
上，
為坐標(biāo)原點，直線
的斜率與直線
的斜率乘積為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）不經(jīng)過點
的直線
（
且
）與橢圓交于
，
兩點，關(guān)于原點的對稱點為
（與點不重合），直線
，
與
軸分別交于兩點
，
，求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
.
（1）若
是函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)的零點，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式
對
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
．
（Ⅰ）當(dāng)
時，求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)
的單調(diào)性．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在矩形ABCD中，
，E為AB的中點．將
沿DE翻折，得到四棱錐
．設(shè)
的中點為M，在翻折過程中，有下列三個命題：
①總有
平面
；
②線段BM的長為定值；
③存在某個位置，使DE與所成的角為90°．
其中正確的命題是_______．（寫出所有正確命題的序號）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知點A是橢圓
的上頂點，斜率為
的直線交橢圓E于A、M兩點，點N在橢圓E上，且
；
（1）當(dāng)
時，求
的面積；
（2）當(dāng)
時，求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是邊長為2的菱形，
，
，平面
平面，點
為棱
的中點．
（Ⅰ）在棱
上是否存在一點
，使得
平面
，并說明理由；
（Ⅱ）當(dāng)二面角
的余弦值為
時，求直線
與平面所成的角．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校進入高中數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的學(xué)生中，高一年級有6人，高二年級有12人， 高三年級有24人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)生中抽取7人進行采訪．
(1）求應(yīng)從各年級分別抽取的人數(shù)；
(2）若從抽取的7人中再隨機抽取2人做進一步了解（注高一學(xué)生記為
，高二學(xué)生記為
，高三學(xué)生記為
，
）
①列出所有可能的抽取結(jié)果；
②求抽取的2人均為高三年級學(xué)生的概率．
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