Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，為正三角形，，，點(diǎn)，分別為線段、的中點(diǎn)，、分別為線段、上一點(diǎn)，且，.

（1）確定點(diǎn)的位置，使得平面；

（2）試問：直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的大小為，若存在，求的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析 （2）存在點(diǎn)，且

【解析】（1）為線段的靠近的三等分點(diǎn).

在線段上取一點(diǎn)，使得，因?yàn)?/span>，∴，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，∴，當(dāng)為線段靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，即，，又易知，∴.又，所以平面平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面.

（2）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為正三角形，所以，又側(cè)面底面，所以底面，以所在直線為軸，的中垂線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得平面的一個(gè)法向量為，易得平面的一個(gè)法向量為，所以，解得，故存在點(diǎn)，且.