Question

【題目】已知不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3的解集為{x|a＜x＜b}；

（1）求a，b的值；

（2）若正實(shí)數(shù)x，y滿足x+y＝ab+2且不等式（yc2﹣4）x+（8cx﹣1）y≤0對(duì)任意的x，y恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣1，b＝1；（2）﹣9≤c≤1．

【解析】

（1）分類討論，即可求得絕對(duì)值不等式的解集，比照數(shù)據(jù)即可求得；

（2）根據(jù)（1）中所求，利用均值不等式即可求得范圍.

（1）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化為（x﹣1）+（2x+1）＜3，

解得x＜1，此時(shí)無解；

當(dāng)x＜1時(shí)，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化為﹣（x﹣1）+（2x+1）＜3，

解得x＜1，此時(shí)x＜1；

當(dāng)時(shí)，不等式|x﹣1|+|2x+1|＜3化為﹣（x﹣1）﹣（2x+1）＜3，

解得x＞﹣1，此時(shí)；

故解集為{x|﹣1＜x＜1}，

∴a＝﹣1，b＝1；

（2）由（1）有，x+y＝1，

不等式（yc2﹣4）x+（8cx﹣1）y≤0可化為xy（c2+8c）≤4x+y，

即，

又，

當(dāng)且僅當(dāng)y＝2x時(shí)取等號(hào)，

∴c2+8c≤9，

解得﹣9≤c≤1．