Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求與滿足的關(guān)系；

（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（3）.

【解析】

（1）求出，由函數(shù)在點(diǎn)處的切線與平行，得，從而可得結(jié)果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的恒成立等價(jià)于在恒成立. 設(shè)，兩次求導(dǎo)，可得，從而可得結(jié)果.

（1）由題意，得.

由函數(shù)在點(diǎn)處的切線與平行，得.

即.

（2）當(dāng)時(shí)，，

由知.

①當(dāng)時(shí)，，在恒成立，

函數(shù)在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)，由，解得或；

由，解得.

函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

③當(dāng)時(shí)，，解得或；

由，解得.

函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)時(shí)，，

由，得對(duì)任意的恒成立.

，，

在恒成立.

設(shè)，則，

令，則，

由，解得.

由，解得；

由，解得.

導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間單增；在區(qū)間單減，

，在上單調(diào)遞減，

，.

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍.