Question

下列命題中
（1）若（m+x）⁵的展開式中x³項的系數(shù)為160，那么m的值為4；
（2）過曲線y=

1

2

x³上的點（1，

1

2

）作曲線的切線，則該切線與圓O₂：x²+y²=1相交弦長為

6 13

13

；
（3）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，3²），且P（-1＜X＜5）=0.6826，則P（X≥5）=0.1587；
（4）對于函數(shù)f（x），定義：若對于任意的實數(shù)a，b，c有f（a），f（b），f（c）都是某一三角形的三邊長，則稱f（x）為“可構造三角形函數(shù)”，據(jù)此定義可知函數(shù)f（x）=2，（x∈R）是“可構造三角形函數(shù)”．
其中正確的命題有

 

（請把所有正確的命題的序號都填在橫線上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)二項式定理，可判斷（1）；利用導數(shù)法及直線的點斜式方程，求出曲線的切線方程，進而根據(jù)直線與圓的弦長公式，求出弦長，可判斷（2）；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，可判斷（3）；根據(jù)已知中的新定義，可判斷（4）．

解答： 解：若（m+x）⁵的展開式中x³項的系數(shù)為160，那么m的值為±4，故（1）錯誤；
∵y=

1

2

x³的導函數(shù)為y′=

3

2

x²，故過曲線y=

1

2

x³上的點（1，

1

2

）作曲線的切線的斜率為

3

2

，
故過曲線y=

1

2

x³上的點（1，

1

2

）作曲線的切線方程為：y-

1

2

=

3

2

（x-1），即3x-2y-2=0，
圓O₂：x²+y²=1的圓心距直線3x-2y-2=0的距離d=

2 13

13

，半徑r=1，故弦長為

6 13

13

，故（2）正確；
已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，3²），且P（-1＜X＜5）=0.6826，則P（X≥5）=P（X≤-1）=0.1587，故（3）正確；
若函數(shù)f（x）=2，則對任意的實數(shù)a，b，c有f（a）=f（b）=f（c）=2可構造等邊三角形，故（4）正確；
故答案為：（2）（3）（4）

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了二項式定理，切線的幾何意義，直線與圓的位置關系，正態(tài)分布等知識點，難度中檔．