Question

【題目】已知函數(shù)滿足，且在上為增函數(shù)，，則不等式的解集為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由f（﹣x）＝﹣f（x），化簡不等式得．再分x＞0和x＜0時兩種情況加以討論，利用函數(shù)的單調(diào)性和f（1）＝0，分別解關于x的不等式得到x的取值范圍，最后綜合可得原不等式的解集．

∵函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）＝﹣f（x）（x∈R），

∴f（x）﹣f（﹣x）＝f（x）+f（x）＝2f（x），

因此，不等式等價于，

化簡得或，

①當x＞0時，由于在（0，+∞）上f（x）為增函數(shù)且f（1）＝0，

∴由不等式f（x）≤0＝f（1），得0＜x≤1；

②當x＜0時，﹣x＞0，

不等式f（x）≥0化成﹣f（x）≤0，即f（﹣x）≤0＝f（1），

解之得﹣x≤1，即﹣1≤x＜0．

綜上所述，原不等式的解集為[﹣1，0）∪（0，1]．

故答案為：[﹣1，0）∪（0，1]