Question

由平面α外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為A、B、C，O為△ABC的外心，求證：OP⊥α.

Answer 1

見(jiàn)解析

學(xué)生錯(cuò)解：證明：因?yàn)镺為△ABC的外心，所以O(shè)A＝OB＝OC，又因?yàn)镻A＝PB＝PC，PO公用，所以△POA，△POB，△POC都全等，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以O(shè)P⊥α.
審題引導(dǎo)：要記OP⊥α，需記OP垂直于α內(nèi)兩條相交的直線，由圖形易知，可考慮證OP垂直于△ABC的兩條邊，注意到圖中的等腰三角形PBC、OBC，不準(zhǔn)找到證題途徑．
規(guī)范解答：證明：取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)PD、OD，
∵PB＝PC，OB＝OC，∴BC⊥PD，BC⊥OD，(5分)
又PD平面POD，OD?平面POD，且PD∩OD＝D，∴BC⊥平面POD.(8分)
∵PO平面POD，∴BC⊥PO.
同理AB⊥PO.(12分)
又AB、BC是α內(nèi)的兩條相交直線，∴PO⊥α.(14分)
錯(cuò)解分析：上述解法中∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，是對(duì)的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄�？這里缺少必要的證明．