Question

如圖,在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA₁=2,E是DD₁的中點(diǎn),F是平面B₁C₁E與直線AA₁的交點(diǎn).

(1)證明:①EF∥A₁D₁;②BA₁⊥平面B₁C₁EF.
(2)求BC₁與平面B₁C₁EF所成的角的正弦值.

Answer 1

（1）見解析  （2）

(1)證明:①因?yàn)镃₁B₁∥A₁D₁,C₁B₁?平面ADD₁A₁,
所以C₁B₁∥平面A₁D₁DA.
又因?yàn)槠矫鍮₁C₁EF∩平面A₁D₁DA=EF,
所以C₁B₁∥EF,所以A₁D₁∥EF.
②因?yàn)锽B₁⊥平面A₁B₁C₁D₁,所以BB₁⊥B₁C₁.
又因?yàn)锽₁C₁⊥B₁A₁,所以B₁C₁⊥平面ABB₁A₁,
所以B₁C₁⊥BA₁.
在矩形ABB₁A₁中,F是AA₁的中點(diǎn),
tan∠A₁B₁F=tan∠AA₁B=,
即∠A₁B₁F=∠AA₁B,
故BA₁⊥B₁F.
所以BA₁⊥平面B₁C₁EF.
(2)解:設(shè)BA₁與B₁F交點(diǎn)為H,連接C₁H.
由(1)知BA₁⊥平面B₁C₁EF,
所以∠BC₁H是BC₁與平面B₁C₁EF所成的角.
在矩形AA₁B₁B中,AB=,AA₁=2,得BH=.
在Rt△BHC₁中,BC₁=2,BH=,得
sin∠BC₁H==.
所以BC₁與平面B₁C₁EF所成角的正弦值是.