Question

（本小題滿分18分）設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，且滿足=2-，(=1，2，3，…)
(Ⅰ)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)若數(shù)列{}滿足=1，且，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
(Ⅲ),求的前項(xiàng)和

Answer 1

(Ⅰ) an=(n∈N*)； (Ⅱ) bn=3-2()n-； (Ⅲ)  。

試題分析：(Ⅰ)∵n=1時(shí)，a1+S1=a1+a1=2
∴a1=1 
∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2
兩式相減：an+1-an+Sn+1-Sn=0
即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an
∵an≠0 ∴(n∈N*)
所以，數(shù)列{an}為首項(xiàng)a1=1，公比為的等比數(shù)列.an=(n∈N*)
(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)
∴bn+1-bn=()n-1
得b2-b1=1
b3-b2=
b4-b3=()2
……
bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…)
將這n-1個(gè)等式相加，得
bn-b1=1+
又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…)  
(3)
所以
點(diǎn)評(píng)：若已知遞推公式為的形式求通項(xiàng)公式常用累加法。
注：①若是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;
②若是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;
③是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;
④是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。