Question

（本題16分） 設(shè)函數(shù)，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求與的關(guān)系；（2）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（3）設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得＞成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1)  (Ⅱ)（3）.

解：（1）由題意得 
 而，所以、的關(guān)系為         …………3分
（2）由（1）知，
令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)滿足：恒成立.                                  …    5分
①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823115024259187.gif" style="vertical-align:middle;" />＞，所以＜0，＜0，
∴在內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，即適合題意；
②當(dāng)＞0時(shí)，其圖像為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為，∴，只需，即，∴在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故適合題意. 
③當(dāng)＜0時(shí)，，其圖像為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為，只要，即時(shí)，在恒成立，故＜0適合題意.綜上所述，的取值范圍為                                 9分
（3）∵在上是減函數(shù)， ∴時(shí)，；時(shí)，，即，①當(dāng)時(shí)，由（2）知在上遞減＜2，不合題意； 
②當(dāng)0＜＜1時(shí)，由，又由（2）知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，
∴＜，不合題意；                                  
③當(dāng)時(shí)，由（2）知在上是增函數(shù)，＜2，又在上是減函數(shù)，故只需＞， ，而，
， 即 ＞2，解得＞ ，                 15分
綜上，的取值范圍是. ……16分
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)用、分類(lèi)討論、不等式、二次函數(shù)，難題