Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2-3a2x+1(a＞0)．
（I）求f′（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極大值和極小值；
（Ⅲ）若x∈[a+1，a+2]時(shí)，恒有f′（x）＞-3a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（I）f'（x）=x²-2ax-3a²．（3分）
（Ⅱ）令f'（x）=x²-2ax-3a²=0，得x=-a或x=3a．（5分）
則當(dāng)x變化時(shí)，f（x）與f'（x）的變化情況如下表：

可知：當(dāng)x∈（-∞，-a）時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（3a，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）也為增函數(shù)．（6分）
當(dāng)x∈（-a，3a）時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．（7分）當(dāng)x=-a時(shí)，f(x)的極大值為

5

3

a3+1；（8分）
當(dāng)x=3a時(shí)，f（x）的極小值為-9a³+1．（9分）
（Ⅲ）因?yàn)閒'（x）=x²-2ax-3a²的對稱軸為x=a，
且其圖象的開口向上，所以f'（x）在區(qū)間[a+1，a+2]上是增函數(shù)．（10分）
則在區(qū)間[a+1，a+2]上恒有f'（x）＞-3a等價(jià)于f'（x）的最小值大于-3a成立．
所以f'（a+1）=（a+1）²-2a（a+1）-3a²=-4a²+1＞-3a．（12分）
解得-

1

4

＜a＜1．又a＞0，故a的取值范圍是（0，1）