Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點，點A、B分別是橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求點P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)M是直角三角PAF的外接圓圓心，求橢圓C上的點到點M的距離的最小值．

 

Answer 1

（1）橢圓C的方程為；（2）點P的坐標(biāo)；

（3）橢圓C上的點到點M的距離的最小值是．

【解析】

試題分析：(1)設(shè)橢圓方程為，把，代入即可解得，∴橢圓方程為；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)是,求出的坐標(biāo)，根據(jù)和橢圓方程聯(lián)立即可求出點P的坐標(biāo)；（3）點M的坐標(biāo)是，由兩點之間的距離公式得，由于,∴當(dāng)時，取得最小值.

試題解析：(1) (4分)

（2）由已知可得點，

設(shè)點P的坐標(biāo)是,則，由已知得，則，解得或.

由于，只能，于是，∴點的坐標(biāo)是 (9分 )

（3） 點M的坐標(biāo)是， 橢圓上的點到點M的距離有

由于 (14分)

考點：橢圓的方程、最值的求法、函數(shù)與方程思想.