Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，記的最小值為，求證：.

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2) 見解析.

【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，代入?yún)��?shù)a的值，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）通過對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性得到，，由得：

，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)可得到函數(shù)的最值.

（Ⅰ）的定義域是，

.

當(dāng)時，，

因為函數(shù)，單調(diào)遞增，且，

所以：當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

所以：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，單調(diào)遞增區(qū)間為：；

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得的定義域是，

，

令，則，

在上單調(diào)遞增，

因為，

所以，，

故存在，使得，

當(dāng)時，，故，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，故，單調(diào)遞增；

故時，取得最小值，

即，

由得：

，

令，，則

，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

故，即時，取最大值1，

故.