Question

橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點，一個頂點為，右焦點F與點 的距離為2。
(1)求橢圓的方程；
(2)斜率的直線與橢圓相交于不同的兩點M,N滿足,求直線l的方程。

Answer 1

(1) (2) 或

試題分析：(1)利用已知條件及橢圓中a、b、c的關(guān)系解方程組即可； (2)把線段的垂直平分線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合判別式、利用韋達(dá)定理以及兩直線垂直的充要條件即可．
（1）依題意，設(shè)橢圓方程為，則其右焦點坐標(biāo)為 ，由，得，即，解得。 又 ∵ ，∴，即橢圓方程為。      (4分)
（2）方法一:由知點在線段的垂直平分線上，由消去得即 （*）             ( 5分)
由,得方程(*)的,即方程(*)有兩個不相等的實數(shù)根。     (6分)
設(shè)、，線段MN的中點，則，，
 ，即 
，∴直線的斜率為，               (9分)
由，得，∴，解得：，  (11分)
∴l(xiāng)的方程為或。                    　           ( 12分)
方法二:直線l恒過點(0,-2), 且點(0,-2)在橢圓上, ∴不妨設(shè)M(0,-2), 則|AM|=4     (6分)
∴|AN|="4," 故N在以A為圓心, 4為半徑的圓上,即在的圖像上．       
聯(lián)立 化簡得 ,解得             (8分)
當(dāng)y=-2時,N和M重合,舍去． 
當(dāng)y=0時,, 因此                (11分)
∴l(xiāng)的方程為或。              ( 12分)