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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          某廠生產一種產品的固定成本(即固定投入)為0.5萬元,但每生產一百件這樣的產品,需要增加可變成本(即另增加投入)0.25萬元.市場對此產品的年需求量為500件,銷售的收入函數為數學公式(單位:萬元),其中t(t∈N)是產品售出的數量(單位:百件)
          (1)該公司這種產品的年產量為x(x∈N)百件,生產并銷售這種產品所得到的利潤為當年產量x(x∈N)的函數f(x),求f(x);
          (2)當年產量是多少時,工廠所得利潤最大?
          (3)當年產量是多少時,工廠才不虧本?

          解:(1)∵某廠生產一種產品的固定成本(即固定投入)為0.5萬元,
          每生產一百件這樣的產品,需要增加可變成本0.25萬元,
          公司這種產品的年產量為x(x∈N)百件,
          銷售的收入函數為
          ∴當0≤x≤5,x∈Z時,
          f(x)=5x--0.5-0.25x=-0.5+4.75x-,
          當x>5,x∈Z時,
          f(x)=25--0.5-0.25x=12-0.25x,
          ∴f(x)=
          (2)當0≤x≤5時,y=-0.5+4.75x-
          ∵拋物線開口向下,對稱軸x=4.75,
          ∴當x=5時,y有最大值10.75;
          當x>5時,∵y=12-0.25x是減函數,
          ∴x=6時,y有最大值10.50.
          綜上,當年產量為500件時,工廠所得利潤最大.
          (3)當0≤x≤5時,由y=-0.5+4.75x-≥0,得0≤x≤5,x∈Z;
          當x>5時,由y=12-0.25x≥0,得5<x≤48,x∈Z.
          當年產量x滿足1≤x≤48,x∈Z時,工廠不虧本.
          分析:(1)利潤函數=銷售收入函數-成本函數,討論x的大小,由此能夠利用分段函數表示出年利潤y表示為年產量x(x>0)的函數.
          (2)由利潤函數是分段函數,分段求出最大值,利用二次函數的性質求出函數取最大值時對應的自變量x的值,比較兩段的最大值即可求出所求.
          (3)令利潤函數不小于,能夠求出年產量是多少時,工廠才不虧本.
          點評:本題考查了函數的生產生活中的實際應用,解題時要認真審題,仔細解答,注意二次函數和分段函數性質的合理運用.
          練習冊系列答案
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          2. B.
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            非奇非偶函數且單調遞減

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            l⊥α
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