Question

【題目】已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）=2f（x+2），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=﹣2x2+4x．設(shè)f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值為an（n∈N*），且{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 則Sn=（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）=2f（x+2）， ∴f（x+2）= f（x），
∴f（x+4）= f（x+2）= f（x），f（x+6）= f（x+4）= f（x），…f（x+2n）= f（x）
設(shè)x∈[2n﹣2，2n），則x﹣（2n﹣2）∈[0，2）
∵當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=﹣2x2+4x．
∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．
∴ =﹣2（x﹣2n+1）2+2
∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），
∴x=2n﹣1時(shí)，f（x）的最大值為22﹣n
∴an=22﹣n
∴{an}表示以2為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列
∴{an}的前n項(xiàng)和為Sn= =
故選B．
根據(jù)定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）= f（x），從而f（x+2n）= f（x），利用當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，從而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值為an ， 進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式，即可求得{an}的前n項(xiàng)和為Sn ．