Question

【題目】已知：x、y、z是正實(shí)數(shù)，且x+2y+3z=1，
（1）求 的最小值；
（2）求證：x2+y2+z2≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x、y、x是正實(shí)數(shù)，且x+2y+3z=1，

∴ =（ ）（x+2y+3z）

=6+ + + + + +

=6+（ + ）+（ + ）+（ + ）

≥6+2 +2 +2

當(dāng)且僅當(dāng) = 且 = 且 = 時(shí)取等號(hào)；

（2）解：由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2

≤（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），

∴x2+y2+z2≥ ，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=3z即x= ，y= ，z= 時(shí)取等號(hào)．

故x2+y2+z2≥ ．

【解析】（1）由題意整體代入可得 =6+（ + ）+（ + ）+（ + ），由基本不等式可得；（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），由不等式的性質(zhì)可得．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本不等式的相關(guān)知識(shí)，掌握基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）；變形公式：．