Question

【題目】已知函數(shù)，其中， 是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（3）若在恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時， 無單調(diào)減區(qū)間；當時， 的單調(diào)減區(qū)間是；當時， 的單調(diào)減區(qū)間是.（3）

【解析】試題分析：（1）先對函數(shù)解析式進行求導(dǎo)，再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，運用點斜式求出切線方程；（2）先對函數(shù)的解析式進行求導(dǎo)，然后借助導(dǎo)函數(shù)的值的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行分類分析探求；（3）先不等式進行等價轉(zhuǎn)化，然后運用導(dǎo)數(shù)知識及分類整合的數(shù)學(xué)思想探求函數(shù)的極值與最值，進而分析推證不等式的成立求出參數(shù)的取值范圍。

解：(1)因為，所以.

因為，所以.

所以切線方程為.

(2) 因為，

當時， ，所以無單調(diào)減區(qū)間.

當即時，列表如下：

所以的單調(diào)減區(qū)間是.

當即時， ，列表如下：

所以的單調(diào)減區(qū)間是.

綜上，當時， 無單調(diào)減區(qū)間；

當時， 的單調(diào)減區(qū)間是；

當時， 的單調(diào)減區(qū)間是.

(3) .

當時，由(2)可得， 為上單調(diào)增函數(shù)，

所以在區(qū)間上的最大值，符合題意.

當時，由(2)可得，要使在區(qū)間上恒成立，

只需， ，解得.

當時，可得， .

設(shè)，則，列表如下：

所以，可得恒成立，所以.

當時，可得，無解.

綜上， 的取值范圍是.