Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系，．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（1）請(qǐng)求出點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)交于點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

(1)將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，可得點(diǎn)滿(mǎn)足．利用相關(guān)點(diǎn)法即可得出點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程；

(2)根據(jù)已知條件求出直線(xiàn)的參數(shù)方程，把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入，利用根與系數(shù)關(guān)系求出，由直線(xiàn)的參數(shù)方程中的幾何意義可將用表示，再將代入即可求出的取值范圍．

(1)因?yàn)?/span>的直角坐標(biāo)方程為，

所以點(diǎn)滿(mǎn)足．

設(shè)，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，

所以，，所以，，

所以，

整理得的軌跡方程為．

(2)因?yàn)橹本�(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

所以直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)，為傾斜角，)

代入得，所以，，

所以．