Question

【題目】在100x25的長方形表格中每一格填入一個非負實數(shù)，第行第列中填入的數(shù)為(如表 1)。然后將表1每列中的數(shù)按由大到小的次序從上到下重新排列為,。(如表2)求最小的自然數(shù)k，使得只要表1中填入的數(shù)滿足則當i≥k時，在表2中就能保證成立。

表1 表2

Answer 1

【答案】97

【解析】

k的最小值為97.

取

這時，滿足題設條件，重排后有 這時，

故k的最小值≥97.

(2)首先證明：表1中必有一行(設為第r行)的所有數(shù)必在重排后所得表2的前97行中都出現(xiàn).事實上，若上述結論不成立，則表1的每一行中至少有一個數(shù)不在表2的前97行中出現(xiàn)，即表2的前97行中至多共有表1中100×24= 2400個數(shù).這與表2的前97行共有25×97= 2425個數(shù)矛盾.

其次，由重排要求知表2中每列的數(shù)從上到下是由大到小排列的，故當i≥97時，

故當i≥97時，.綜合1、2知k的最小值為97.