Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)，且的最大值為，求的值；

（2）方程在上的兩解分別為、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，令，可得，再令，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在上的最大值為，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)，由題意求得，，，由兩角差的余弦公式可求出的值，求出的取值范圍，進(jìn)而利用二倍角余弦公式可求出的值.

（1），

當(dāng)時(shí)，令，則，則.

，

令，令，該二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線.

①當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則，不合乎題意；

②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得或（舍）；

③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，解得（舍）.

綜上所述，；

（2）設(shè)，，則，

由于正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

由，得，

因?yàn)榉匠?/span>在上的兩解分別為、，

則，必有，，

所以，，同理，

，

由于，且，，則，

由，可得.