【題目】如圖,在幾何體中,
,四邊形
為矩形,平面
平面
,
.
(1)求證:平面⊥平面
;
(2)點(diǎn)在線段
上運(yùn)動(dòng),設(shè)平面
與平面
所成二面角的平面角為
,試求
的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2)
【解析】
(1)根據(jù)余弦定理求得,根據(jù)勾股定理證得
,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理,證得
平面
,由此證得面
平面
.
(2)以為
軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出
點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算平面
和平面
的法向量,通過(guò)兩個(gè)法向量計(jì)算
的表達(dá)式,進(jìn)而求得
的取值范圍.
(1)證明:在四邊形中,∵
,∴
.
∴,∴
.
∵平面平面
,平面
平面
,
平面
,
平面
.又因?yàn)?/span>
平面
,所以平面
平面
.
(2)由(1)知可建立分別以直線CA,CB,CF為x軸,y軸,z軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,令
.
則.
∴.
設(shè)為平面
的法向量,
由得
取
,則
.
是平面
的一個(gè)法向量,
∴.
,∴當(dāng)
時(shí),
有最小值
,當(dāng)
時(shí),
有最大值
.所以
的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖為某大河的一段支流,岸線近似滿足
∥
寬度為7
圓
為河中的一個(gè)半徑為2
的小島,小鎮(zhèn)
位于岸線
上,且滿足岸線
現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)
經(jīng)小島
至對(duì)岸
的通道
(圖中粗線部分折線段,
在
右側(cè)),為保護(hù)小島,
段設(shè)計(jì)成與圓
相切,設(shè)
(1)試將通道的長(zhǎng)
表示成
的函數(shù),并指出其定義域.
(2)求通道的最短長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥,據(jù)監(jiān)測(cè),如果成人按規(guī)定的劑量服用,服用藥后每毫升血液中的含藥量(微克)與服藥的時(shí)間
(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線,其中
是線段,曲線
是函數(shù)
(
,
,且
,
是常數(shù))的圖象.
(1)寫(xiě)出服藥后關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式;
(2)據(jù)測(cè)定,每毫升血液中的含藥量不少于微克時(shí)治療疾病有效.假設(shè)某人第一次服藥為早上
,為保持療效,第二次服藥最遲應(yīng)當(dāng)在當(dāng)天幾點(diǎn)鐘?
(3)若按(2)中的最遲時(shí)間服用第二次藥,則第二次服藥后小時(shí),該病人每毫升血液中的含藥量為多少微克?(精確到
微克)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,
分別是
的中點(diǎn).
(1)求證: 平面
;
(2)若三棱柱的體積為4,求異面直線
與
夾角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)與
,若對(duì)任意的
,都存在
,使得
,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫狀況,隨機(jī)選取該月中的5天,將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位:℃)制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論:
①甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫;
②甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫;
③甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差;
④甲地該月14時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.
其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的標(biāo)號(hào)為( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年“十一”期間,高速公路車(chē)輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車(chē)中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問(wèn)調(diào)查,將他們?cè)谀扯胃咚俟返能?chē)速()分成六段:
,
,
,
,
,
,后得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)求這40輛小型車(chē)輛車(chē)速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值;
(2)若從車(chē)速在的車(chē)輛中任抽取2輛,求車(chē)速在
的車(chē)輛恰有一輛的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)定義域?yàn)?/span>
,且對(duì)任意實(shí)數(shù)
,有
,則稱
為“
形函數(shù)”,若函數(shù)
定義域?yàn)?/span>
,函數(shù)
對(duì)任意
恒成立,且對(duì)任意實(shí)數(shù)
,有
,則稱為“對(duì)數(shù)
形函數(shù)” .
(1)試判斷函數(shù)是否為“
形函數(shù)”,并說(shuō)明理由;
(2)若是“對(duì)數(shù)
形函數(shù)”,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若是“
形函數(shù)”,且滿足對(duì)任意
,有
,問(wèn)
是否為“對(duì)數(shù)
形函數(shù)”?證明你的結(jié)論.
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