Question

如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起， 使得△ABD與△ABC成直二面角,如圖二，在二面角中.

(1)求證：BD⊥AC；
(2)求D、C之間的距離；
(3)求DC與面ABD成的角的正弦值。

Answer 1

(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理來得到線線垂直的證明。關(guān)鍵的一步是利用面ABD面ABC，得到BD面ABC，加以證明。
(2) 2 (3)

試題分析： 解：(1)依題意，面ABD面ABC，AB是交線，
而BDAB，BD面ABC，又AC面ABC，
 BD⊥AC；          4分
(2)由(1)知，BD面ABC，而BC面ABC，
 BD⊥BC；RtDBC中，BC=BA=2，BD=2，
DC===2；       8分
(3)取AB的中點(diǎn)H，連CH、DH和DC，

△ABC是正三角形，
CHAB，又面ABC面ABD，
 CH面ABD，
DH是DC在面ABD內(nèi)的射影，
CDH是DC與面ABD成的角。
而CH=BC=，由(2)DC=2，
sinCDH===即為所求。      12分
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理得到垂直的證明，以及角的求解，屬于基礎(chǔ)題。