Question

【題目】如圖，在四棱柱中，平面，，， ，， 為的中點.

（Ⅰ）求CE與DB所成角的余弦值；

（Ⅱ）設(shè)點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長度

Answer 1

【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由平面，，可得，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，得出與的坐標，即可求得CE與DB所成角的余弦值；（Ⅱ）利用共線向量基本定理把M的坐標用E和C1的坐標及待求系數(shù)λ表示，求出平面的一個法向量，利用向量求線面角的公式求出直線AM與平面所成角的正弦值，代入求出λ的值，則線段AM的長可求．

（Ⅰ）由平面，，可得，，兩兩垂直，所以分別以，，所在直線為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，.

，，，

（Ⅱ）所以，，，.

設(shè)平面的一個法向量為，

由，，得

令，得.

設(shè)，其中，

則，

記直線與平面所成角為，

則span>，

解得（舍），或. 所以，

故線段的長度為.