Question

【題目】如圖，已知在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，，點(diǎn)在底面的投影恰好為與的交點(diǎn)，.

（1）證明：；

（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）在平面圖形中，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，得，在中，利用余弦定理求得，根據(jù)相似可得，從而證出，再由平面，可得，利用線面垂直的判定定理可證出平面，進(jìn)而證出.

（2）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，由，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

（1）證明：如圖，在平面圖形中，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，

易得，故，

在中，由余弦定理知，

，

故.

由相似可知，，

又，∴，

故，∴.

又點(diǎn)在底面的投影為，∴平面，∴，

又，∴平面，∴.

（2）解：如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸

建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，

故，，，

，，，

故，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

令，解得，故.

同理，可求得平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)二面角為，

則.