Question

【題目】拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為正的直線過點(diǎn)交拋物線于、兩點(diǎn)，滿足.

（1）求直線的斜率；

（2）過焦點(diǎn)與垂直的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1） （2）81

【解析】

（1）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡后由韋達(dá)定理表示出，，根據(jù)可由向量的坐標(biāo)關(guān)系求得參數(shù)，得直線方程的斜率.

（2）根據(jù)題意，表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線可得，由（1）可求得，即可由對角線互相垂的性質(zhì)直求得四邊形的面積.

（1）依題意知，設(shè)直線的方程為，；

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立；

消去得.設(shè)，；

所以，； ①

因?yàn)?/span>，得； ②

聯(lián)立①和②，消去，，得，

又，則；

故直線的斜率是；

（2）由條件有，

∴直線的斜率；

則直線的方程；

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立；

化簡可得；

設(shè)，，

∴；

∴；

由（1）知；

∴；

；

所以，

四邊形的面積為81.