Question

【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）求過(guò)點(diǎn)和函數(shù)的圖像相切的直線方程；

（2）若對(duì)任意，有恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在唯一的整數(shù)，使得，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），.（2）.（3）.

【解析】試題分析：（1）先設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為，再建立切線方程為，將代入方程可得，即，進(jìn)而求得切線方程為：或.

（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意有恒成立，①當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)工具求得，故此時(shí)；

②當(dāng)時(shí)，恒成立，故此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，，

利用導(dǎo)數(shù)工具求得，故此時(shí).綜上：.

（3）因?yàn)?/span>，由（2）知，

當(dāng)，原命題等價(jià)于存在唯一的整數(shù)成立，利用導(dǎo)數(shù)工具求得；當(dāng)，原命題等價(jià)于存在唯一的整數(shù)成立，利用導(dǎo)數(shù)工具求得.綜上：.

試題解析：

（1）設(shè)切點(diǎn)為，，則切線斜率為，

所以切線方程為，因?yàn)榍芯�過(guò)，

所以，

化簡(jiǎn)得，解得.

當(dāng)時(shí)，切線方程為，

當(dāng)時(shí)，切線方程為.

（2）由題意，對(duì)任意有恒成立，

①當(dāng)時(shí)，，

令，則，令得，

，故此時(shí).

②當(dāng)時(shí)，恒成立，故此時(shí).

③當(dāng)時(shí)，，

令，

，故此時(shí).綜上：.

（3）因?yàn)?/span>，即，

由（2）知，

令，則

當(dāng)，存在唯一的整數(shù)使得，

等價(jià)于存在唯一的整數(shù)成立，

因?yàn)?/span>最大，，，所以當(dāng)時(shí)，至少有兩個(gè)整數(shù)成立，

所以.

當(dāng)，存在唯一的整數(shù)使得，

等價(jià)于存在唯一的整數(shù)成立，

因?yàn)?/span>最小，且，，所以當(dāng)時(shí)，至少有兩個(gè)整數(shù)成立，

所以當(dāng)時(shí)，沒(méi)有整數(shù)成立，所有.

綜上：.