Question

如圖,在長(zhǎng)方體中,點(diǎn)在棱上.

（1）求異面直線(xiàn)與所成的角；
（2）若二面角的大小為,求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

(1)；(2).

試題分析：根據(jù)幾何體的特征，可有兩種思路，即“幾何法”和“向量法”.
思路一:(1)連結(jié).由是正方形知.
根據(jù)三垂線(xiàn)定理得,即得異面直線(xiàn)與所成的角為.
(2)作,垂足為,連結(jié),得.為二面角的平面角,.于是,根據(jù),得,又,得到.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,于求得.
思路二:分別以為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)由,得,
設(shè),又,則.
計(jì)算得即得解.
(2)為面的法向量,設(shè)為面的法向量,
由,
得到.①
由,得,根據(jù),即,
得到②
由①、②,可取,
點(diǎn)到平面的距離.
試題解析：解法一:(1)連結(jié).由是正方形知.
∵平面,
∴是在平面內(nèi)的射影.
根據(jù)三垂線(xiàn)定理得,
則異面直線(xiàn)與所成的角為.                    5分
(2)作,垂足為,連結(jié),則.
所以為二面角的平面角,.于是,
易得,所以,又,所以.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則由于即,
因此有,即,∴.       ..  12分
解法二:如圖,分別以為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)由,得,
設(shè),又,則.
∵∴,則異面直線(xiàn)與所成的角為.        5分
(2)為面的法向量,設(shè)為面的法向量,則
,
∴.①
由,得,則,即,∴②
由①、②,可取,又,
所以點(diǎn)到平面的距離.             12分