Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求證：；

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意由函數(shù)的解析式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則，令，求出的導(dǎo)數(shù)，分析在的最小值，分析可得，由函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，分析可得答案；

（2）根據(jù)題意，原問題可以轉(zhuǎn)化為，設(shè)，分析可得只須證成立，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析可得的最小值，證明其最小值大于0即可得答案.

（1）因為，

令，則.

令，得(依題意)，

由，得；由，得.

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以

因為，所以.

所以，即

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由，等價于，

等價于

設(shè)，只須證成立.

因為

由，得有異號兩根.

令其正根為，則.

在上，在上，

則的最小值為，

，所以

則，因此，

即，所以

所以