Question

【題目】已知函數(shù)，且.

（1）求a；

（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn)，記直線AB的斜率為k，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，分析當(dāng)時(shí)與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，研究其單調(diào)性并求出最小值，由題可知，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性可得最大值，由此得到；

（2）由（1）知時(shí)，，令，則，變形為，即，又，，，從而得證.

（1），

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，又，則對(duì)一切，這與題設(shè)矛盾；

當(dāng)時(shí)，令得.

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)，取最小值.

于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).①

令，則.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)，取最大值，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立.

綜上所述，；

（2）由（1）知，

當(dāng)單調(diào)遞增，

當(dāng)單調(diào)遞減，

又由于，所以時(shí)，，

令，則，變形為，

所以，

又，

則，

所以.