【題目】某校辨論隊(duì)計(jì)劃在周六、周日各參加一場(chǎng)辨論賽，分別由正、副隊(duì)長(zhǎng)負(fù)責(zé)，已知該校辯論隊(duì)共有10位成員（包含正、副隊(duì)長(zhǎng)），每場(chǎng)比賽除負(fù)責(zé)人外均另需3位隊(duì)員（同一隊(duì)員可同時(shí)參加兩天的比賽，正、副隊(duì)長(zhǎng)只能參加一場(chǎng)比賽）.假設(shè)正副隊(duì)長(zhǎng)分別將各自比賽通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給辯論隊(duì)8名隊(duì)員中的3位，且所發(fā)信息都能收到.
（1）求辯論隊(duì)員甲收到隊(duì)長(zhǎng)或副隊(duì)長(zhǎng)所發(fā)比賽通知信息的概率；
（2）記辯論隊(duì)收到正副隊(duì)長(zhǎng)所發(fā)比賽通知信息的隊(duì)員人數(shù)為隨機(jī)變量
，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
；（2）分布列見(jiàn)解析，
.
【解析】
（1）根據(jù)已知條件甲隊(duì)員收到正副隊(duì)長(zhǎng)的通知信息概率均為
，沒(méi)有收到正副隊(duì)長(zhǎng)的通知信息概率均為
，根據(jù)相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的概率公式，可求出甲隊(duì)員沒(méi)有收到正隊(duì)長(zhǎng)也沒(méi)收到副隊(duì)長(zhǎng)所發(fā)比賽通知信息的概率，由對(duì)立事件的概率關(guān)系，即可求解；
（2）由題意可得隨機(jī)變量
可取值為3，4，5，6，根據(jù)古典概型的概率，分別求出
的概率，可得到分布列，按照期望公式，即可得出結(jié)論.
（1）設(shè)事件
表示：辯論隊(duì)員甲收到隊(duì)長(zhǎng)的通知信息，
則
，
，
設(shè)事件
表示：辯論隊(duì)員甲收到副隊(duì)長(zhǎng)的通知信息，
則
，
設(shè)事件
表示；辯論隊(duì)員甲收到隊(duì)長(zhǎng)或副隊(duì)長(zhǎng)的通知信息，
則
，
所以辯論隊(duì)員甲收到隊(duì)長(zhǎng)或副隊(duì)長(zhǎng)的通知信息的概率為；
（2）由題意可得隨機(jī)變量可取值為3，4，5，6，
則
，
，
，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
| 3 | 4 | 5 | 6 |
|
|
|
|
|
其數(shù)學(xué)期望
.
亮點(diǎn)激活精編提優(yōu)100分大試卷系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知二次函數(shù)
的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
,且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
,點(diǎn)
(
)在二次函數(shù)的圖象上.
(1)求數(shù)列的表達(dá)式;
(2)設(shè)
(),數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
,若
對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)在數(shù)列中是否存在這樣的一些項(xiàng),
,
,
,…
,…(
),這些項(xiàng)能夠依次構(gòu)成以
為首項(xiàng),q(
,
)為公比的等比數(shù)列
?若存在,寫出
關(guān)于k的表達(dá)式;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）
.
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線y=f（x）與直線y＝b（b∈R）有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）過(guò)點(diǎn)P（﹣1，0）可作幾條直線與曲線y=f（x）相切？請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
的長(zhǎng)軸是短軸的兩倍，以短軸一個(gè)頂點(diǎn)和長(zhǎng)軸一個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的線段作直徑的圓的周長(zhǎng)等于
，直線l與橢圓C交于
兩點(diǎn)，其中直線l不過(guò)原點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線
的斜率分別為
，其中
且
.記
的面積為S.分別以
為直徑的圓的面積依次為
，求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】“劍橋?qū)W派”創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)家哈代說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)家的造型，同畫(huà)家和詩(shī)人一樣，也應(yīng)當(dāng)是美麗的”；古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來(lái)美；我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了優(yōu)美“弦圖”.“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為
，則
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了選修課程的55名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如下表：
喜歡統(tǒng)計(jì)課程 | 不喜歡統(tǒng)計(jì)課程 | ||
男生 | 20 | 5 | |
女生 | 10 | 20 | |
（1）判斷是否有99．5％的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)？
（2）用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)查，將這6名學(xué)生作為一個(gè)樣本，從中任選2人，求恰有1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率．
臨界值參考:
| 0．10 | 0．05 | 0．25 | 0．010 | 0．005 | 0．001 |
| 2．706 | 3．841 | 5．024 | 6．635 | 7．879 | 10．828 |
（參考公式：
，其中
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知中心在原點(diǎn)的橢圓
和拋物線
有相同的焦點(diǎn)
，橢圓過(guò)點(diǎn)
，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．
求橢圓和拋物線的方程；
設(shè)點(diǎn)P為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．
設(shè)直線PA，PB的斜率分別為
，
，求證：
為定值；
若直線AB交橢圓于C，D兩點(diǎn)，
，
分別是
，
的面積，試問(wèn)：
是否有最小值？若有，求出最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】2022年北京冬奧會(huì)的申辦成功與“3億人上冰雪”口號(hào)的提出，將冰雪這個(gè)冷項(xiàng)目迅速炒“熱”．北京某綜合大學(xué)計(jì)劃在一年級(jí)開(kāi)設(shè)冰球課程，為了解學(xué)生對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)從該校一年級(jí)學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，其中女生中對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)有興趣的占
，而男生有10人表示對(duì)冰球運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣額．
（1）完成
列聯(lián)表，并回答能否有
的把握認(rèn)為“對(duì)冰球是否有興趣與性別有關(guān)”？
有興趣 | 沒(méi)興趣 | 合計(jì) | |
男 | 55 | ||
女 | |||
合計(jì) |
（2）已知在被調(diào)查的女生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中3名對(duì)冰球有興趣，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2人對(duì)冰球有興趣的概率．
附表：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
的短軸長(zhǎng)為2，傾斜角為
的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，且點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O連線的斜率為
.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若
，P是以AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，求證：
.
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