Question

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)， 的周長(zhǎng)為16．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為原點(diǎn)，圓： （）與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若直線、與軸分別交于、兩點(diǎn)，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)的周長(zhǎng)為16，可得，再根據(jù)離心率，得出，從而可得橢圓的方程；（2）根據(jù)圓及橢圓的對(duì)稱性可得， 兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)， ，則，從而得出直線的方程，即可得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而列出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)求值即可得到定值.

試題解析：（1）由題意得，則，

由，解得，

則，所以橢圓的方程為．

（2）證明：由條件可知， ， 兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)， ，則，由題可知， ，

∴， ．

又直線的方程為，令得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo).

∴ ，即為定值．