Question

【題目】如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面，，，，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，二面角的平面角的大小為30°，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析：（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）由已知可得四邊形為平行四邊形，連，與交于，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連，結(jié)合已知可證，即可證明結(jié)論；

（Ⅱ）由已知可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，確定的坐標(biāo)，求出平面一個(gè)法向量坐標(biāo)，按照空間向量線(xiàn)面角公式即可求解；

（Ⅲ）設(shè)，求出平面一個(gè)法向量的坐標(biāo)，取平面的法向量為，按照空間向量的面面角公式，即可求出結(jié)論.

（Ⅰ）四邊形是菱形，是矩形，

，

四邊形為平行四邊形，連，與交于，

則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連，為的中點(diǎn)，

平面，平面，

平面；

（Ⅱ）四邊形是菱形，，為的中點(diǎn)，

，又平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，，

，

，

設(shè)平面的法向量為，則
，即,

令，則，

平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，

則，

直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）設(shè)，

，設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，則，

所以平面的一個(gè)法向量為，

又是平面的一個(gè)法向量，

所以，

解得或（舍去），

所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為.