Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2（a＞0）在x=1處有極值10．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[0，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10，
得a=4，或a=﹣3
∵a＞0，∴a=4，
b=﹣11（經(jīng)檢驗符合）
（2）f（x）=x3+4x2﹣11x+16，f'（x）=3x2+8x﹣11，
由f′（x）=0得,x2=1
所以令f′（x）＞0得或；令得
所以f（x）在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．
（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，4）上單調(diào)遞增，
又因為f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，
所以f（x）的最大值為100，最小值為1020．
【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在1處的值為0；f（x）在1處的值為10，列出方程組求出a，b的值．
（2）令導(dǎo)函數(shù)大于0求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）利用（2）得到f（x）在[0，4]上的單調(diào)性，求出f（x）在[0，4]上的最值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況才能正確解答此題．