Question

【題目】如圖，在三棱柱中，已知四邊形為矩形，，，，的角平分線交于.

（1）求證:平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）過點(diǎn)作交于，連接，設(shè)，連接，由角平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的全等，證得，，由線面垂直的判斷定理證得平面，再由面面垂直的判斷得證.

（2）平面幾何知識(shí)和線面的關(guān)系可證得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)二面角的向量計(jì)算公式可求得其值.

（1）如圖，過點(diǎn)作交于，連接，設(shè)，連接，，，

又為的角平分線，四邊形為正方形，，

又，，，，，又為的中點(diǎn)，

又平面，，平面，

又平面，平面平面，

（2）在中，，，，在中，，，

又，，，，

又，，平面，平面，

故建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，

，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，

令，得,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

，令，得

，由圖示可知二面角是銳角，

故二面角的余弦值為.