Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值是．

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上不重合的四點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，且，求此時(shí)直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)離心率，面積的最大值是，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、，即可得結(jié)果；（2）直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式將用表示，解方程可得的值,即可得結(jié)果.

（1）由題意知，當(dāng)點(diǎn)是橢圓上、下頂點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值

此時(shí)，是，又

解得，所求橢圓的方程為

（2）由（1）知，由得，

①當(dāng)直線與有一條直線的斜率不存在時(shí)，，不合題意

②當(dāng)直線的斜率為（存在且不為0）時(shí)，其方程為

由消去得

設(shè) 則

所以

直線的方程為，同理可得

由,解得

故所求直線的方程為