Question

已知函數(shù)f（x）=（1-x）e^x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x≥0時，g（x）=e^x+λ1n（1-x）-1≤0，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

1

en+1

+

1

en+2

+

1

en+3

+…+

1

e2n

＜n+ln2（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）中求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論x的范圍，找出單調(diào)區(qū)間求出最值；（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論g（x）的增減性得出λ的取值范圍；（Ⅲ）將x的不同的值代入求出即可．

解答： 解；（Ⅰ）f′（x）=-xe^x，
x=0時，f′（x）=0，
x＜0時，f′（x）＞0，
x＞0時，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增，在（0，+∞）單調(diào)遞減；
∴f（x）_max=f（0）=0．
（Ⅱ）g′（x）=e^x-

λ

1-x

=

(1-x)ex-λ

1-x

，
令h（x）=（1-x）e^x-λ，
∴h′（x）=-xe^x，
x∈[0，1）時，h′（x）≤0，h（x）單調(diào)遞減，
若在[0，1）內(nèi)存在使h（x）=（1-x）e^x-λ＞0的區(qū)間（0，x₀），
則g（x）在（0，x₀）上是增函數(shù)，g（x）＞g（0）=0，與已知不符；
故x∈[0，1）時，h（x）≤0，g（x）在[0，1）上是減函數(shù)，g（x）≤g（0）=0成立．
∴h（x）的最大值h（0）≤0，即（1-0）e⁰-λ≤0，∴λ≥1，
∴λ的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅲ）：在（Ⅱ）中令λ=1，
∴x＞0時，e^x＜1-ln（1-x），
將x=

1

n+1

，

1

n+2

，…，

1

2n

代入上述不等式，再將得到的n個不等式相加，
得：

1

en+1

+

1

en+2

+

1

en+3

+…+

1

e2n

＜n+ln2．

點(diǎn)評：本題考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，滲透了分類討論思想，有一定的難度．