Question

等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₄=8．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足a₂，a bn，a_2n+2成等比數(shù)列，若b₁+b₂+b₃+…+b_m≤b₁₀，求正整數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ） 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由已知列出方程求出q，代入通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)；
（Ⅱ）由題意得abn2=a2•an+2，即(2bn-1)2=2•22n，求出b_n=n+2，判定出數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，利用公式求出和，列出不等式求出m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a4=a1q3，∴q=2．
∴an=n-1．…（6分）
（Ⅱ）由題意得abn2=a2•an+2，
∴(2bn-1)2=2•22n，得b_n=n+2，
∵b_n+1-b_n=1，
∴數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列．…（9分）
∴b₁+b₂+b₃+…+b_m≤=

(m+5)m

2

≤b10=12，…（11分）
即m²+5m-24≤0，解得-8≤m≤3，
又因?yàn)閙為正整數(shù)，所以m=1或2或3．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的求法；等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法及解不等式，屬于中檔題．