Question

已知等比數(shù)列{a_n}，a₁=2，a₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的前n項和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求出等比數(shù)列的公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法即可得到數(shù)列的和．

解答： 解：（1）∵a₄=16=a₁q³=16，
∴q³=8，q=2，
即a_n=2ⁿ．
（2）∵na_n=n•2ⁿ，
∴S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，①
（Ⅰ）當n=1時，S₁=2，
（Ⅱ）當n≥2時，2S_n=2²+2×2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹，
整理得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
由（Ⅰ）（Ⅱ）得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和問題，利用錯位相減法是解決本題的關鍵．