Question

已知拋物線 C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)P（2，m）（m＞0），若P到焦點(diǎn)F的距離為4，則以P為圓心且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：根據(jù)題意可得2-（-

p

2

）=4，求得 p=4，可得拋物線 C：y²=8x．把點(diǎn)P（2，m）代入拋物線的方程，求得m的值，可得圓心和半徑，從而得到所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：由題意結(jié)合拋物線的定義可得P到準(zhǔn)線的距離為4，
∴2-（-

p

2

）=4，求得 p=4，∴拋物線 C：y²=8x．
點(diǎn)P（2，m）代入拋物線 C：y²=8x，結(jié)合m＞0，可得m=4．
再根據(jù)題意可得圓的半徑為4，故所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y-4）²=16，
故答案為：（x-2）²+（y-4）²=16．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出m的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．