Question

【題目】已知兩點(diǎn)A（0，﹣1），B（0，1），直線PA，PB相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積是，記點(diǎn)P軌跡為C.

（1）求曲線C的軌跡方程；

（2）直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，若|AM|＝|AN|，求直線l的斜率k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，由利用斜率公式，得到關(guān)系式，整理即可求出結(jié)論；

（2）斜率顯然成立，當(dāng)設(shè)直線方程為與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，由，得出關(guān)于的不等量關(guān)系，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系求出坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而求出中點(diǎn)坐標(biāo)，，可得，求出關(guān)系，代入的不等量關(guān)系式，即可求出結(jié)論.

（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則kPA，kPB，

則有，整理得，

即曲線C的軌跡方程為；

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然不符，

故設(shè)直線方程為，代入，

整理得，

由已知條件可知，

即，①.

設(shè)，記的中點(diǎn)為，

則，

所以，， ②

由，得，所以， ③

將②代入③化簡得，即， ④

將④代入①得，即，

得且，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，也成立，

故的取值范圍為.