Question

底面邊長為2的正三棱錐P-ABC，其表面展開圖是三角形P₁P₂P₃，如圖，求△P₁P₂P₃的各邊長及此三棱錐的體積V．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：利用側(cè)面展開圖三點(diǎn)共線，判斷△P₁P₂P₃是等邊三角形，然后求出邊長，利用正四面體的體積求出幾何體的體積．

解答： 解：根據(jù)題意可得：P₁，B，P₂共線，∵∠ABP₁=∠BAP₁=∠CBP₂，∠ABC=60°，
∴∠ABP₁=∠BAP₁=∠CBP₂=60°，
∴∠P₁=60°，同理∠P₂=∠P₃=60°，
∴△P₁P₂P₃是等邊三角形，P-ABC是正四面體，
∴△P₁P₂P₃的邊長為4，
V_P-ABC=

2

12

×AB3=

2 2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間想象能力以及邏輯推理能力，幾何體的側(cè)面展開圖和體積的求法．